Sobre raíces k-ésimas en el grupo simétrico y en el grupo alternante

Abstract

Sea G un grupo y k un entero positivo. Para un elemento g de G, decimos que h es una raíz k-ésima de g si se cumple que hk = g. Es un problema clásico determinar cuando un elemento de G tiene o no raíz k-ésima en G y en su caso calcular el número de dichas raíces (ver, por ejemplo, [7, 9, 10, 17, 18, 27, 28]). Uno de los grupos más estudiados en este sentido es el grupo simétrico que consiste de todas las biyecciones de un conjunto nito X de carnalidad n y la composición de funciones como operación binaria. El grupo simétrico se denota por Sn y a sus elementos se les conoce como permutaciones. Es conocido que las permutaciones se pueden clasificar en permutaciones pares y permutaciones impares. El conjunto de las permutaciones pares es un subgrupo del grupo simétrico al cual se le conoce como grupo alternante y se denota por An. En los artículos [4, 5, 6, 8, 20, 21, 24, 25, 33, 34] se pueden encontrar resultados relacionados con raíces en el grupo simétrico.